Matematik

Lineer Denklem Sistemi Çözme

Birden fazla bilinmeyenin doğrusal denklemlerini aynı anda çözer. Sağ taraf ayrı girilir; katsayı sırası tüm satırlarda aynı kalmalıdır.

Sonuç

Değerleri girip hesaplayın.

Girdiden sonuca

Adım adım örnekler

Basit örnekİki bilinmeyen

Girdiler

Katsayı matrisi A: 2; 1 1; -1
Sağ taraf b: 7; 2

İşlem

İkinci denklem x−y=2; y=x−2. İlkine koyunca 3x=9, x=3 ve y=1.

Sonuç

Bilinmeyen x1: 3
Bilinmeyen x2: 1

Her iki denklemde yerine koyarak sağ tarafı doğrulayın.

Orta örnekPivot yer değişimi

Girdiler

Katsayı matrisi A: 0; 2 3; 1
Sağ taraf b: 8; 10

İşlem

İlk satır y=4; ikinci 3x+4=10, dolayısıyla x=2.

Sonuç

Bilinmeyen x1: 2
Bilinmeyen x2: 4

İlk pivot sıfır olduğunda satır değiştirilir; sıfır katsayı tek başına hata değildir.

Gerçek hayat / hedef örneğiÜç bilinmeyen

Girdiler

Katsayı matrisi A: 1; 1; 1 2; -1; 1 1; 2; -1
Sağ taraf b: 6; 3; 2

İşlem

1+2+3=6; 2−2+3=3; 1+4−3=2.

Sonuç

Bilinmeyen x1: 1
Bilinmeyen x2: 2
Bilinmeyen x3: 3

Üç koordinatın da özgün denklemleri sağlaması artık kontrolünün anlamıdır.

Hesaplama yöntemi

Nasıl hesaplanır?

Ax=b; kısmi pivotlu Gauss–Jordan satır işlemleri; artık=max|Ax−b|.

Yuvarlama: Ara işlemler yuvarlanmaz; gösterim en fazla 6 ondalık veya küçük/büyük değerde bilimsel gösterim. Matris, vektör izdüşümü, polinom bölüm/kalan katsayıları ve yumuşatılmış seri gösterimi 10 anlamlı basamak; eşit taksit planı mevcut kuruş motorudur.

Geçerli aralık ve sınırlar: 1–8 bilinmeyen, kare matris; mutlak katsayı≤1 milyar. Ölçekli pivot<10⁻¹² veya yüksek artıkta sonuç yok.

Veri / yöntem yılı: 2026 · Son doğrulama: 2026-10-10

OpenStax — Gauss elemesi ↗

Varsayımlar ve kullanım sınırları için bu sayfadaki açıklamaları okuyun; tahminler kesin sonuç anlamına gelmez.

Algoritma ve çözüm sınırları

Çözüm yöntemi

Ax=b; kısmi pivotlu Gauss–Jordan satır işlemleri; artık=max|Ax−b|.

[\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}] [\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}] = [\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \end{matrix}]

Değişkenler ve birimler

Katsayı matrisi A
Sağ taraf b

Katsayıların denklem birimleri tutarlı olmalı.

Algoritma ve durma koşulu

Bütün katsayılar ortak en büyük büyüklükle ölçeklenir. Her sütunda mutlak değeri en büyük pivot satırı seçilir; normalize edilen satır diğer satırlardan çıkarılır. En fazla 8 sütun, O(n³) işlem ve O(n²) bellek.

Ölçekli pivot 10⁻¹² altında veya max|Ax−b| sağ taraf ölçeğinin 10⁻⁷ katını aşarsa tek çözüm yayımlanmaz. Küçük artık iyi koşullanma kanıtı değildir.

Alternatif yöntemler

Gauss–Jordan küçük sistemde anlaşılır adımlar verir. Büyük veya kötü koşullanmış sistemde LU/QR ve koşul sayısı analizi gerekir; bu araç bunları yapmaz.

Sınırlar ve başarısızlık durumları

1–8 bilinmeyen, kare matris; mutlak katsayı≤1 milyar. Ölçekli pivot<10⁻¹² veya yüksek artıkta sonuç yok.

Adımlar ve yöntem bilgisi hesaplamadan sonra sonuç ayrıntılarında görünür. Tekil matris, küçük payda, taşma veya yakınsamama geçerli çözüm gibi gösterilmez. Sayısal çözüm, sembolik doğruluk kanıtı değildir.

Yöntem sürümü: universe-6.0.1 · İnceleme: 10 Ekim 2026. Bu tarih veri yılı değil, yöntemin inceleme tarihidir.