Matematik

Polinom Kökü: Newton, İkili Bölme ve Sekant

Bir polinomun seçilen başlangıç koşullarından bir sayısal kökünü arar. Genel ifade veya kullanıcı JavaScript kodu çalıştırılmaz.

Sonuç

Değerleri girip hesaplayın.

Girdiden sonuca

Adım adım örnekler

Basit örnekKarekök iki

Girdiler

Katsayılar (en yüksek dereceden sabite): 1; 0; -2
Yöntem: İkili bölme
Alt uç / ilk tahmin: 1
Üst uç / ikinci tahmin: 2
Mutlak f(x) toleransı: 0,00000001
Azami adım: 100

İşlem

x²−2 polinomu [1,2] aralığında zıt işaretlidir; aralık kökü tutarak yarılanır.

Sonuç

Yaklaşık kök: 1,414214
Yakınsama: Evet

Kart yaklaşık kökü 1,414214 olarak gösterir. Motorun mutlak artık toleransı 10⁻⁸, görüntüleme ise altı ondalıktır.

Orta örnekNewton küpkök

Girdiler

Katsayılar (en yüksek dereceden sabite): 1; 0; 0; -27
Yöntem: Newton–Raphson
Alt uç / ilk tahmin: 4
Üst uç / ikinci tahmin: 1
Mutlak f(x) toleransı: 0,00000001
Azami adım: 100

İşlem

f=x³−27, f′=3x²; x−f/f′ adımları 3’e yaklaşır.

Sonuç

Yaklaşık kök: 3
Yakınsama: Evet

3 sayısını polinomda yerine koyunca artık sıfırdır; algoritma tüm karmaşık kökleri aramaz.

Gerçek hayat / hedef örneğiSekant doğrusal

Girdiler

Katsayılar (en yüksek dereceden sabite): 2; -10
Yöntem: Sekant
Alt uç / ilk tahmin: 0
Üst uç / ikinci tahmin: 10
Mutlak f(x) toleransı: 0,00000001
Azami adım: 100

İşlem

İki noktanın sekantı doğrusal polinomda denklemin kendisidir; kök 10/2=5.

Sonuç

Yaklaşık kök: 5
Yakınsama: Evet

Doğrusal örnek bir adımda çözülür; bu hız eğri polinomlar için garanti değildir.

Hesaplama yöntemi

Nasıl hesaplanır?

Newton xₙ₊₁=xₙ−f/f′; ikili bölme zıt işaretli aralığı yarılar; sekant x−f(x)(x−xönce)/(f−fönce). Durma |f(x)|≤tolerans.

Yuvarlama: Ara işlemler yuvarlanmaz; gösterim en fazla 6 ondalık veya küçük/büyük değerde bilimsel gösterim. Matris, vektör izdüşümü, polinom bölüm/kalan katsayıları ve yumuşatılmış seri gösterimi 10 anlamlı basamak; eşit taksit planı mevcut kuruş motorudur.

Geçerli aralık ve sınırlar: Derece 1–12; katsayı≤1 milyar, |x|≤1 milyon; tolerans 10⁻¹²–10⁻², 1–200 adım. Tek kök aranır; sıfır türev/payda ve taşma reddedilir.

Veri / yöntem yılı: 2026 · Son doğrulama: 2026-10-10

MIT OCW — kök bulma yöntemleri ↗

Varsayımlar ve kullanım sınırları için bu sayfadaki açıklamaları okuyun; tahminler kesin sonuç anlamına gelmez.

Algoritma ve çözüm sınırları

Çözüm yöntemi

Newton xₙ₊₁=xₙ−f/f′; ikili bölme zıt işaretli aralığı yarılar; sekant x−f(x)(x−xönce)/(f−fönce). Durma |f(x)|≤tolerans.

x_{n + 1} = x_{n} - \frac{f (x_{n})}{f^{'} (x_{n})}

Değişkenler ve birimler

Katsayılar (en yüksek dereceden sabite)
Yöntem
Alt uç / ilk tahmin
Üst uç / ikinci tahmin
Mutlak f(x) toleransı
Azami adım

Katsayı ve x birimleri tutarlı; artık f(x) birimindedir.

Algoritma ve durma koşulu

Horner ile f ve analitik türev değerlendirilir. İkili bölme zıt işaretli aralığı yarılar; Newton türevle teğet adımı atar; sekant iki geçmiş noktayı kullanır. Derece d ve adım k için O(dk). İlk 12 adım gösterilir.

Yalnız |f(x)|≤girilen toleransta kök gösterilir; en fazla 200 adım. Küçük türev/payda, kapsam dışı x veya yakınsamama çözüm değildir. Mutlak artık katsayı ölçeğine bağlıdır.

Alternatif yöntemler

İkili bölme uygun işaret aralığında daha güvenilirdir ama yavaştır; Newton yakın başlangıçta hızlı, sekant türevsizdir. Teklik, tüm gerçek/karmaşık kökler ve sembolik çözüm garanti edilmez.

Sınırlar ve başarısızlık durumları

Derece 1–12; katsayı≤1 milyar, |x|≤1 milyon; tolerans 10⁻¹²–10⁻², 1–200 adım. Tek kök aranır; sıfır türev/payda ve taşma reddedilir.

Adımlar ve yöntem bilgisi hesaplamadan sonra sonuç ayrıntılarında görünür. Tekil matris, küçük payda, taşma veya yakınsamama geçerli çözüm gibi gösterilmez. Sayısal çözüm, sembolik doğruluk kanıtı değildir.

Yöntem sürümü: universe-6.0.1 · İnceleme: 10 Ekim 2026. Bu tarih veri yılı değil, yöntemin inceleme tarihidir.