Matematik

Polinom Türevi ve Sayısal İntegral

Polinomun analitik türev ve integralini sayısal yöntemlerle karşılaştırır. Katsayı listesi sabit terimle biter; eksik derecelere sıfır yazılır.

Sonuç

Değerleri girip hesaplayın.

Girdiden sonuca

Adım adım örnekler

Basit örnekx² integrali

Girdiler

Polinom katsayıları: 1; 0; 0
Değer/türev noktası x: 2
İntegral alt uç: 0
İntegral üst uç: 3
Çift panel sayısı: 100

İşlem

x²’nin türevi 2x; x=2’de 4. 0–3 integrali [x³/3]₀³=9.

Sonuç

Değer: 4
Analitik türev: 4
Analitik işaretli integral: 9
Simpson yaklaşımı: 9

Simpson ikinci derece polinomda yuvarlama dışında analitik sonuçla eşleşir.

Orta örnekSabit fonksiyon

Girdiler

Polinom katsayıları: 5
Değer/türev noktası x: 0
İntegral alt uç: 2
İntegral üst uç: 6
Çift panel sayısı: 10

İşlem

Sabit 5’in türevi 0; dört birim aralıkla integral 5×4=20.

Sonuç

Değer: 5
Analitik türev: 0
Analitik işaretli integral: 20
Trapez yaklaşımı: 20
Simpson yaklaşımı: 20

Katsayı listesinde tek öğe sabit polinomdur; sıfır türev geçerli bir sonuçtur.

Gerçek hayat / hedef örneğiTers sınır

Girdiler

Polinom katsayıları: 1; 0; 0; 0
Değer/türev noktası x: 2
İntegral alt uç: 2
İntegral üst uç: 0
Çift panel sayısı: 20

İşlem

x³ türevi 3x²=12; [x⁴/4]₂⁰=−4.

Sonuç

Analitik türev: 12
Analitik işaretli integral: -4
Simpson yaklaşımı: -4

Sınırları ters çevirmek integralin işaretini değiştirir; geometrik alan için başka tanım gerekir.

Hesaplama yöntemi

Nasıl hesaplanır?

(aₖxᵏ)′=k aₖx^(k−1); ∫aₖxᵏdx=aₖx^(k+1)/(k+1). Trapez uç/2 ve iç toplam; Simpson 1,4,2,…,4,1 ağırlıkları.

Yuvarlama: Ara işlemler yuvarlanmaz; gösterim en fazla 6 ondalık veya küçük/büyük değerde bilimsel gösterim. Matris, vektör izdüşümü, polinom bölüm/kalan katsayıları ve yumuşatılmış seri gösterimi 10 anlamlı basamak; eşit taksit planı mevcut kuruş motorudur.

Geçerli aralık ve sınırlar: Derece≤12, |katsayı|≤1 milyar, |x/uç|≤1.000; 2–1.000 çift panel. Merkezi fark h=0,0001. İşaretli integral; genel fonksiyon yok.

Veri / yöntem yılı: 2026 · Son doğrulama: 2026-10-10

OpenStax — sayısal integral ↗

Varsayımlar ve kullanım sınırları için bu sayfadaki açıklamaları okuyun; tahminler kesin sonuç anlamına gelmez.

Algoritma ve çözüm sınırları

Çözüm yöntemi

(aₖxᵏ)′=k aₖx^(k−1); ∫aₖxᵏdx=aₖx^(k+1)/(k+1). Trapez uç/2 ve iç toplam; Simpson 1,4,2,…,4,1 ağırlıkları.

\int_{a}^{b} x^{k} d x = \frac{b^{k + 1} - a^{k + 1}}{k + 1}

Değişkenler ve birimler

Polinom katsayıları
Değer/türev noktası x
İntegral alt uç
İntegral üst uç
Çift panel sayısı

x birimi ve polinom birimi; integral y×x.

Algoritma ve durma koşulu

Analitik türev ve antitürev katsayılardan çıkarılır. Bileşik trapez ve Simpson eş aralıklı panelleri toplar; merkezi fark iki yakın değerlendirmeyi karşılaştırır. O(d×panel), en fazla 1.000 panel.

Simpson çift panel ister. Analitik polinom sonucu referanstır; otomatik hata toleransına göre panel artırılmaz. Sabit h=0,0001 çıkarma hatasına açıktır.

Alternatif yöntemler

Genel fonksiyonlarda uyarlamalı quadrature ve türev için otomatik/simgesel yöntem gerekebilir. Bu araç yalnız polinom kabul eder; işaretli integral mutlak geometrik alan değildir.

Sınırlar ve başarısızlık durumları

Derece≤12, |katsayı|≤1 milyar, |x/uç|≤1.000; 2–1.000 çift panel. Merkezi fark h=0,0001. İşaretli integral; genel fonksiyon yok.

Adımlar ve yöntem bilgisi hesaplamadan sonra sonuç ayrıntılarında görünür. Tekil matris, küçük payda, taşma veya yakınsamama geçerli çözüm gibi gösterilmez. Sayısal çözüm, sembolik doğruluk kanıtı değildir.

Yöntem sürümü: universe-6.0.1 · İnceleme: 10 Ekim 2026. Bu tarih veri yılı değil, yöntemin inceleme tarihidir.