Matematik

Kovaryans, Korelasyon ve Doğrusal Regresyon

İki serinin birlikte değişimini ve y=a+bx en küçük kareler doğrusunu aynı eşleştirilmiş veride özetler.

Sonuç

Değerleri girip hesaplayın.

Girdiden sonuca

Adım adım örnekler

Basit örnekTam doğru

Girdiler

x gözlemleri: 1; 2; 3
Eşleştirilmiş y gözlemleri: 2; 4; 6
Kovaryans paydası: Örneklem n−1
Tahmin için x: 4

İşlem

x̄=2,ȳ=4; Sxx=2,Sxy=4, eğim=2 ve kesişim=0.

Sonuç

Kovaryans: 2
Pearson korelasyonu: 1
Eğim: 2
Kesişim: 0
Doğru modelinde y: 8

x=4 gözlem dışıdır; gösterilen 8 ekstrapolasyon uyarısıyla bir model değeridir.

Orta örnekNegatif ilişki

Girdiler

x gözlemleri: 1; 2; 3
Eşleştirilmiş y gözlemleri: 6; 4; 2
Kovaryans paydası: Popülasyon n
Tahmin için x: 2

İşlem

Sxy=−4; popülasyon paydası 3, eğim −4/2=−2.

Sonuç

Kovaryans: -1,333333
Pearson korelasyonu: -1
Eğim: -2
Kesişim: 8
Doğru modelinde y: 4

Negatif korelasyon y’nin x artarken azaldığını gösterir; büyüklükler aynı ölçü değildir.

Gerçek hayat / hedef örneğiArtıklı doğru

Girdiler

x gözlemleri: 0; 1; 2
Eşleştirilmiş y gözlemleri: 1; 2; 5
Kovaryans paydası: Örneklem n−1
Tahmin için x: 1

İşlem

Sxx=2,Sxy=4; x̄=1,ȳ=8/3, a=2/3. Artık kare toplamı 2/3.

Sonuç

Eğim: 2
Kesişim: 0,666667
R²: 0,923077
Doğru modelinde y: 2,666667
Artık kare toplamı: 0,666667

Doğru her düğümden geçmek zorunda değildir; bu fark enterpolasyonla regresyonu ayırır.

Hesaplama yöntemi

Nasıl hesaplanır?

Sxx=Σ(x−x̄)²; Syy=Σ(y−ȳ)²; Sxy=Σ(x−x̄)(y−ȳ); b=Sxy/Sxx; a=ȳ−bx̄; r=Sxy/√(SxxSyy).

Yuvarlama: Ara işlemler yuvarlanmaz; gösterim en fazla 6 ondalık veya küçük/büyük değerde bilimsel gösterim. Matris, vektör izdüşümü, polinom bölüm/kalan katsayıları ve yumuşatılmış seri gösterimi 10 anlamlı basamak; eşit taksit planı mevcut kuruş motorudur.

Geçerli aralık ve sınırlar: 2–1.000 eşleştirilmiş gözlem; iki seri değişken. Birimler seriye göre; nedensellik/anlamlılık testi yok.

Veri / yöntem yılı: 2026 · Son doğrulama: 2026-10-10

NIST — doğrusal en küçük kareler ↗

Varsayımlar ve kullanım sınırları için bu sayfadaki açıklamaları okuyun; tahminler kesin sonuç anlamına gelmez.

Algoritma ve çözüm sınırları

Çözüm yöntemi

Sxx=Σ(x−x̄)²; Syy=Σ(y−ȳ)²; Sxy=Σ(x−x̄)(y−ȳ); b=Sxy/Sxx; a=ȳ−bx̄; r=Sxy/√(SxxSyy).

S_{xy} = \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})

Değişkenler ve birimler

x gözlemleri
Eşleştirilmiş y gözlemleri
Kovaryans paydası
Tahmin için x

2–1.000 eşleştirilmiş gözlem; iki seri değişken. Birimler seriye göre; nedensellik/anlamlılık testi yok.

Algoritma ve durma koşulu

Merkezlenmiş farkların Sxx,Syy,Sxy toplamları O(n) zamanda bulunur. y=a+bx karesel artık toplamını minimize eder; ortalama çıkarma büyük ortak kayma etkisini azaltır.

En az iki eşleşmiş gözlem ve iki seride değişim gerekir. Popülasyon/örneklem kovaryansı ayrı payda kullanır; x aralığı dışında model değeri uyarılır.

Alternatif yöntemler

Pearson yalnız doğrusal ilişkiyi özetler. Sıralama ilişkisi, çoklu regresyon, aykırı değer dayanıklılığı ve tahmin aralığı için farklı yöntem gerekir.

Sınırlar ve başarısızlık durumları

2–1.000 eşleştirilmiş gözlem; iki seri değişken. Birimler seriye göre; nedensellik/anlamlılık testi yok.

Adımlar ve yöntem bilgisi hesaplamadan sonra sonuç ayrıntılarında görünür. Tekil matris, küçük payda, taşma veya yakınsamama geçerli çözüm gibi gösterilmez. Sayısal çözüm, sembolik doğruluk kanıtı değildir.

Yöntem sürümü: universe-6.0.1 · İnceleme: 10 Ekim 2026. Bu tarih veri yılı değil, yöntemin inceleme tarihidir.